f(t) = t * i - j * e * g(t) = i + t * j

Esboçar o hodógrafo de f(t) × g(t) .

Passo 1

Pessoal, vamos primeiramente calcular o vec f (t) xx vec g ( t ) :

É só montar a matriz 3x3 e calcular seu determinante.

vec f (t) xx vec g (t) = [[[vec i,vec j,vec k],[f_1,(t),f_2,(t),f_3,(t)],[g_1,(t),g_2,(t),g_3,(t)]]] = [[[vec i,vec j,vec k],[t,-,1,0],[1,t,0]]]

= (- 1 * 0) vec i + (0 * 1) vec j + (t * t) vec k - (1 * (- 1)) vec k - (t * 0) vec i - (0 * t) vec j

= 0 vec i + 0 vec j + t^2 vec k + vec k - 0 vec i - 0 vec j = t^2 vec k + vec k

vec f (t) xx vec g ( t ) = (t^2 + 1) vec k

Passo 2

Para fazermos este esboço temos que ter em mente que o hodógrafo de vec f (t) xx vec g ( t ) coincide com a sua trajetória. Agora ficou fácil, né?!

Basta observarmos que os pontos do hodógrafo de vec f (t) xx vec g ( t ) tem coordenadas:

x (t) = 0

y (t) = 0

z (t) = t^2 + 1

Passo 3

Para facilitar nossa vida, podemos fazer uma tabelinha em função de z ( t ) , já que x (t) = y (t) = 0 , para determinar os pontos e traçar nosso esboço.

Vamos arbitrariamente escolher os pontos para montar nossa tabela.

Passo 4

Agora basta marcar os pontos que achamos e traçar nosso esboço!

Para t = - 2 -> x (t) = 0 , y (t) = 0 , z (t) = 5

Para t = - 1 -> x (t) = 0 , y (t) = 0 , z (t) = 2

Para t = 0 -> x (t) = 0 , y (t) = 0 , z (t) = 1

Para t = 1 -> x (t) = 0 , y (t) = 0 , z (t) = 2

Para t = 2 -> x (t) = 0 , y (t) = 0 , z (t) = 5

Resposta

Resolução nos passos acima.