(a) Esboce algumas curvas integrais típicas da equação diferencial y’ = -x/y

(b) Determine uma equação da curva integral que passe pelo ponto (3,4)

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico, primeiro temos que ter uma equação que será obtida pelo método da separação de variáveis.

Começamos colocando a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, substitui-se y ' = d y d x e arrumam-se os termos:

d y d x = - x y       →     y   d y = - x   d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ y   d y = ∫ - x   d x     →       y 2 2 = - x 2 2 + C

Elevamos os dois lados da equação à função logarítmica para isolarmos o y:

y = ±   C 2 - x 2                     ( 1 )

Passo 2

A partir da equação (1), podemos aplicar valores positivos e negativos para “C” e obter diferentes curvas. A tabela a seguir mostra alguns valores típicos de “C”:

Depois disso, basta aplicar essas equações em um recurso computacional e obteremos as seguintes curvas

Passo 3

Para determinarmos a equação que intercepta o ponto (3,4), basta substituir a coordenada na equação (1) para descobrir o valor de “C”.

4 = ±   C 2 - ( 3 ) 2         →         C = 5

E por fim, substituímos o “C” na equação (1):

y = 25 - x 2

Resposta

a)

b )   y = 25 - x 2