Enunciado

(a) Esboce algumas curvas integrais típicas da equação diferencial y’ = y/2x.

(b) Determine uma equação da curva integral que passe pelo ponto (2, 1).

Passo 1

Para esboçarmos o gráfico, primeiro temos que ter uma equação que será obtida pelo método da separação de variáveis.

Começamos colocando a equação no modelo: d y d x = g ( x ) p ( y ) , sendo que cada termo deve ser dependente de apenas uma variável. Assim, na equação dada, substitui-se y ' = d y d x e arrumam-se os termos:

d y d x = y 2 x       →     1 y   d y = 1 2 x   d x

O próximo passo é integrar os dois lados da igualdade

∫ 1 y   d y = ∫ 1 2 x   d x       → l o g l o g   y   = 1 2 * l o g ⁡ ( x ) + C

Elevamos os dois lados da equação à função logarítmica para isolarmos o y:

y = C * x 1 2                 o u               y 2 = C x                 ( 1 )

Passo 2

A partir da equação (1), podemos aplicar valores positivos e negativos para “C” e obter diferentes curvas. A tabela a seguir mostra alguns valores típicos de “C”:

Depois disso, basta aplicar essas equações em um recurso computacional e obteremos as seguintes curvas

Passo 3

Para determinarmos a equação que intercepta o ponto (2,1), basta substituir a coordenada na equação (1) para descobrir o valor de “C”.

( 1 ) 2 = C 2         →         C = 1 2

E por fim, substituímos o “C” na equação (1):

y 2 = 1 2 x

Resposta

a)

b )   y 2 = 1 2 x

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