Enunciado

Esboce a curva de nível de f   ( x ,   y ) que passa por P e desenhe o vetor gradiente em P .

f   x ,   y = y x 2 ;   P ( - 2 ,   2 )

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar f   - 2 ,   2

f   - 2 ,   2 =   2 ( - 2 ) 2 = 1 2

De posse desse valor, vamos achar a função da curva de nível igualando o resultado de f   - 2,2 com a função f   x , y .

f   x ,   y =   f   - 2,2

y x 2 = 1 2

x 2 - 2 y = 0

Vamos observar que a função da curva de nível é uma parábola. Isso vai ajudar lá na frente.

Passo 2

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada - 2 ,   2 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = - 2 y x 3

f x   - 2 ,   2   = - 2 * 2 ( - 2 ) 3 = 1 2

f y   x , y   = 1 x 2

f y   - 2 ,   2   = 1 ( - 2 ) 2 = 1 4

Passo 3

Agora, de posse dos valores de f x   - 2 ,   2 e f y   - 2 ,   2 vamos aplicar a formula de ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f     x 0 , y 0 = - 2 y x 3 i - 1 x 2 j

∇ f   - 2 ,   2 =   1 2 i - 1 4 j

Passo 4

Por fim, vamos para o desenho da curva de nível e o vetor gradiente.

De boa, né?

Resposta

∇ f     x 0 , y 0 = - 2 y x 3 i - 1 x 2 j

∇ f   - 2 ,   2 =   1 2 i - 1 4 j

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