Responde Aí

Enunciado

Esboce a curva de nível de f   ( x ,   y ) que passa por P e desenhe o vetor gradiente em P .

f   ( x ,   y )   =   x 2   +   4 y 2 ;   P ( - 2 ,   0 )

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar f   - 2 ,   0

f   - 2 ,   0 =   ( - 2 ) 2   +   4 ( 0 ) 2 = 4

De posse desse valor, vamos achar a função da curva de nível igualando o resultado de f   - 2,0 com a função f   x , y .

f   x ,   y =   f   - 2,0

x 2   +   4 y 2 = 4

x 4 2   +   4 y 2 = 0

Vamos observar que a função da curva de nível é uma elipse. Isso vai ajudar lá na frente.

Passo 2

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada - 2 ,   0 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 2 x

f x   - 2 ,   0   = 2 - 2 = - 4

f y   x , y   = 8 y

f y   - 2 ,   0   = 8 0 = 0

Passo 3

Agora, de posse dos valores de f x   - 2,0 e f y   - 2 ,   0 vamos aplicar a formula de ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f     x 0 , y 0 = 2 x i - 8 y j

∇ f   - 2 ,   0 =   - 4 i

Passo 4

Por fim, vamos para o desenho da curva de nível e o vetor gradiente.

De boa, né?

Resposta

∇ f     x 0 , y 0 = 2 x i - 8 y j

∇ f   - 2 ,   0 =   - 4 i