Enunciado

Esboce a curva de nível de f   ( x ,   y ) que passa por P e desenhe o vetor gradiente em P .

f   x ,   y =   x 2 -   y 2 ;   P ( 2 , - 1 )

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar f   2 , - 1

f   2 , - 1 =   ( 2 ) 2 -   ( - 1 ) 2 = 3

De posse desse valor, vamos achar a função da curva de nível igualando o resultado de f   2 , - 1 com a função f   x , y .

f   x ,   y =   f   2 , - 1

x 2 -   y 2 = 3

Vamos observar que a função da curva de nível é uma parábola. Isso vai ajudar lá na frente.

Passo 2

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada 2 , - 1 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 2 x

f x   2 , - 1   = 2 2 = 4

f y   x , y   = - 2 y

f y   2 , - 1   = - 2 - 1 = 2

Passo 3

Agora, de posse dos valores de f x   2 , - 1 e f y   2 , - 1 vamos aplicar a formula de ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f     x 0 , y 0 = 2 x i - 2 y j

∇ f   2 , - 1 =   4 i + 2 j

Passo 4

Por fim, vamos para o desenho da curva de nível e o vetor gradiente.

De boa, né?

Resposta

∇ f     x 0 , y 0 = 2 x i - 2 y j

∇ f   2 , - 1 =   4 i + 2 j

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