Enunciado

Esboce a curva de nível de f   ( x ,   y ) que passa por P e desenhe o vetor gradiente em P .

f   x ,   y =   4 x - 2 y + 3 ;   P   1,2

Passo 1

Primeiramente, vamos encontrar f   1,2

f   1,2 =   4 1 - 2 2 + 3 = 3

De posse desse valor, vamos achar a função da curva de nível igualando o resultado de f   1,2 com a função f   x , y .

f   x ,   y =   f   1,2

4 x - 2 y + 3 = 3

2 x - y = 0

Vamos observar que a função da curva de nível é uma reta, e que x é o dobro de y. Isso vai ajudar lá na frente.

Passo 2

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada 1,2 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 4

f x   1,2   = 4

f y   x , y   = - 2

f y   1,2   = - 2

Passo 3

Agora, de posse dos valores de f x   1,2 e f y   1,2 vamos aplicar a formula de ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f     x 0 , y 0 =   4 i - 2 j

∇ f   1,2 =   4 i - 2 j

Passo 4

Por fim, vamos para o desenho da curva de nível e o vetor gradiente.

De boa, né?

Resposta

∇ f     x 0 , y 0 =   4 i - 2 j

∇ f   1,2 =   4 i - 2 j