Enunciado

Escreva os cinco primeiros termos da sequência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.

n + 3 n + 1 n n = 1 + ∞

Passo 1

Bora galera, vamos começar mais uma questão.

Primeiramente vamos escrever os cinco primeiros termos da sequência:

n + 3 n + 1 n n = 1 + ∞

n = 1 → 1 + 3 1 + 1 1 = 2

n = 2 → 2 + 3 2 + 1 2 = 5 3 2

n = 3 → 3 + 3 3 + 1 3 = 6 4 3

n = 4 → 4 + 3 4 + 1 4 = 7 5 4

n = 5 → 5 + 3 5 + 1 5 = 8 6 5

Então:

n + 3 n + 1 n n = 1 + ∞ = 2 , 5 3 2 ,   6 4 3 ,   7 5 4 ,   8 6 5 , …

Passo 2

Segundo o Definição 9.1.2 “Dizemos que uma sequência { a n } converge para o limite L se dado

qualquer ∈   >   0 , existir um número inteiro positivo N , tal que | a n   -   L |   <   ∈ se n   ≥   N . Nesse caso, escrevemos

a n   = L

Dizemos que uma sequência diverge quando não convergir para algum limite finito.”

Assim, considerando que:

y = x + 3 x + 1 x

l n l n   y     = l n l n   x + 3 x + 1   1 / x   = 2 x 2 ( x + 1 ) ( x + 3 )   = 2

Então:

n + 3 n + 1 n   = e 2

Esse resultado indica que converge.

Resposta

2 , 5 3 2 ,   6 4 3 ,   7 5 4 ,   8 6 5 , …

n + 3 n + 1 n   = e 2

Converge

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