Escreva um programa de computador para o método de Adams-Bashforth/Adam-Moulton. Nos problemas 3 e 4 aplique o método Adams-Bashforth/Adam-Moulton para obter uma aproximação de y(0,8), onde y(x) é a solução do problema de valor inicial dado. Tome h = 0,2 e aplique o método de Runge-kutta para calcular y1, y2, e y3.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para por meio de programação escrever o método de Adams-Bashforth/Adam-Moulton nos problemas

y ' = 2 x - 3 y + 1 ,     y 0 = 1 y ' = 4 x - 2 x ,     y 0 = 2

Para y 0,8         h = 0,2

Aplicando o método de Runge-Kutta para calcular y 1 ,   y 2   e   y 3 .

Lembrando que para essa questão temos que usar a fórmula do método Adams-Bashforth/Adam-Moulton em que,

y n + 1 ' = y n + h 24 ( 55 y n ' - 59 y n - 1 ' + 37 y n - 2 ' - 9 y n - 3 ' )

y n ' = F ( x n , y n )

y n - 1 ' = F ( x n - 1 ,   y n - 1 )

y n - 2 ' = F ( x n - 2 , y n - 2 )

y n - 3 ' = F ( x n - 3 ,   y n - 3 )

Para n ≥ 3

y n + 1 ' = y n + h 24 ( 9 y n + 1 ' + 19 y n ' - 5 y n - 1 ' + y n - 2 ' )

y n + 1 ' = F ( x n + 1 ,   y n + 1 )

E o método Runge-Kutta é formada por,

y n + 1 = y n + a k 1 + b k 2 + c k 3 + d k 4

y n + 1 = y n + 1 6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 )

k 1 = h F ( x n , y n )

k 2 = h F ( x n + 1 2 h , y n + 1 2 k 1 )

k 3 = h F ( x n + 1 2 h ,   y n + 1 2 k 2 )

k 4 = h F ( x n + h ,   y n + k 3 )

Grande né, mas fica de boa vamos vencer essa juntos.

Passo 2

Para a primeira função,

y ' = 2 x - 3 y + 1 ,     y 0 = 1

Utilizando o método de Adams-Bashforth/Adam-Moulton temos

y 0,8         h = 0,2

y 0 = 1 → 2.0 - 3.0 + 1 = 1

Seguindo a sequência até 0,8 , ficamos com

Já para o método de Runge-Kutta vamos ter,

k 1 = 0.2 2.0 - 3.0 + 1 = 0,2

k 2 = 0,2 2.0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 k 1 = 0,9

k 3 = 0,2 2.0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 k 2 = 0,55

y n + 1   = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 = 1,31

Passo 3

Já na segunda função,

y ' = 4 x - 2 x ,     y 0 = 2

4.0 - 2.0 = 0

Seguindo a sequência até 0,8 temos,

Já no método de Runge-Kutta vamos ter que,

k 1 = 0.2 4 . 0 - 2 . 0 = 0

k 2 = 0,2 4 . 0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 . 0 = 0 , 1

k 3 = 0,2 4 . 0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 . 0,1 = 0,55

y n + 1   = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 = 0,841

Ufa, complicadinha, mas é isso aí até a próxima

Resposta

k 1 = 0.2 2.0 - 3.0 + 1 = 0,2

k 2 = 0,2 2.0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 k 1 = 0,9

k 3 = 0,2 2.0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 k 2 = 0,55

y n + 1   = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 = 1,31

k 1 = 0.2 4.0 - 2.0 = 0

k 2 = 0,2 4.0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 . 0 = 0,1

k 3 = 0,2 4.0 + 1 2 - 3.0 + 1 2 . 0,1 = 0,55

y n + 1   = y n + 1 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 = 0,841