Enunciado

Escreva os quatros primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.

Passo 1

Seja aplicando mudança de base de logaritmos podemos escrever

a n = l n   n   n l n   b     que representa os elementos da sequência acima, onde o valor de n será apenas valores inteiros e positivos como 1, 2, 3 e 4. Assim, poderemos obter os valores dos quatros primeiros elementos

a 1 = l n   1   1 l n   b   = 0

a 2 = l n   2   2 l n   b  

a 3 = l n   3   3 l n   b  

a 4 = l n   4   4 l n   b  

Passo 2

Definimos como um caso convergente, quando l i m n → ∞ a n existir, assim para determinar para resolvermos o limite devemos utilizar a regra de L’ Hópital onde

l i m x → a f x g x = l i m x → a f ' x g ' x ,

assim, 

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ l n   n   n   l n   b   = l i m n → ∞ l n   n   ' n   l n   b   ' = 1 l n   b   l i m n → ∞ 1 x = 0

Portanto, a n converge para e o limite é 0.

Resposta

Elementos são 0 , l n   2   2 l n   b   , l n   3   3 l n   b   e l n   4   4 l n   b  

Convergente

l i m n → ∞ a n = 0

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