Enunciado

Escreva os quatros primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.

1 + 1 3 n n

Passo 1

Seja a n =   1 + 1 3 n n que representa os elementos da sequência acima, onde n deverá ser valores positivos 1, 2 , 3 e 4.

Assim, os quatros primeiros elementos da sequência podem ser dado por:

a 1 =   1 + 1 3 ⋅ 1 1 = 1 + 1 3 = 4 3 ≈ 1,33 … ;

a 2 =   1 + 1 3 ⋅ 2 2 = 1 + 1 6 2 = 7 6 2 = 49 36 ≈ 1,361 … ;

a 3 =   1 + 1 3 ⋅ 3 3 = 1 + 1 9 3 = 10 a 3 = 1000 729 ≈ 1,372

a 4 = 1 + 1 3 ⋅ 4 4 = 1 + 1 12 4 = 13 12 4 = 28,561 20,736 ≈ 1,377

Passo 2

Definimos como um caso convergente, quando l i m n → ∞ a n existir, assim;

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ 1 + 1 3 n n

Vamos multiplicar o expoente por 3 3 ,

l i m n → ∞ 1 + 1 3 n n 3 3 = l i m n → ∞ 1 + 1 3 n 3 n 1 3

Utilizando o limite notável, onde l i m x → ∞ = 1 + 1 x x = ⅇ , onde

l i m n → ∞ 1 + 1 3 n 3 n 1 3 =   e 1 3

Assim podemos afirmar que a sequência a n é convergente e seu limite é igual a e 1 3

Resposta

Elementos com os valores aproximados serão 1,333 ;   1,361 ; 1,372   e   1,377

Convergente

l i m n → ∞ a n = e 1 3

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