Enunciado
Cálculo - Louis Leithold - Vol 2 - Capítulo 13.2 - Ex. 1b
(b) Escreva a série de potências que define a função e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)
Passo 1
Olha nós de novo, galera o item (b) deixou mastigadinha no enunciado já dizendo o que devemos fazer.
Olha só para determinar o raio de convergência ela disse que devemos utilizar o teorema da secção 13.1, mais conhecida de teorema da razão onde o , para isso devemos considerar que se;
- ela será convergente para todos os de x
- (exceto quando x = a)
- para , por analise poderemos dizer o domínio da nossa serie
Não esqueçamos que ainda no próprio enunciado determinou outro teorema pra obter a resposta, que foi o teorema 13.2.1 que afirma o seguinte olha só:
Se tivermos uma série sendo uma série de potencias com um raio de convergência então poderemos determinar uma derivada da série também terá R como raio de convergência.
Assim com tudo em mãos é só correr para o abraço!
BORA LÁÁÁÁÁ?
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo
Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:
Substituindo os termos encontrados no limite.
Assim como a série é completamente convergente quando
Portanto o raio de convergência é 1
Então é isso galeraaaa☺
Resposta
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