Enunciado

(b) Escreva a série de potências que define a função f ’ e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)

f x = ∑ n = 1 + ∞ x n n 2

Passo 1

Olha nós de novo, galera o item (b) deixou mastigadinha no enunciado já dizendo o que devemos fazer.

Olha só para determinar o raio de convergência ela disse que devemos utilizar o teorema da secção 13.1, mais conhecida de teorema da razão onde o l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para isso devemos considerar que se;

  • L   =   0 ela será convergente para todos os de x
  • L = +   ∞ (exceto quando x = a)
  • L   <   1 para x 1 < x < x 2 , por analise poderemos dizer o domínio da nossa serie

Não esqueçamos que ainda no próprio enunciado determinou outro teorema pra obter a resposta, que foi o teorema 13.2.1 que afirma o seguinte olha só:

Se tivermos uma série ∑ n = 0 + ∞ c n x n sendo uma série de potencias com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série ∑ n = 1 + ∞ n c n x n - 1 também terá R como raio de convergência.

Assim com tudo em mãos é só correr para o abraço!

BORA LÁÁÁÁÁ?

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo

f x = ∑ n = 1 + ∞ x n n 2 → f ' x = ∑ n = 1 + ∞ n x n - 1 n 2 = ∑ n = 1 + ∞ x n - 1 n

Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos determinar cada termo do limite atribuído na série que nos foi dada:

u n = x n - 1 n

u n + 1 = x n n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n n + 1   x n n + 1 = l i m n → ∞ x n n + 1 ∙ n x n - 1

= l i m n → ∞ n n + 1 ∙ x n x n - 1 = l i m n → ∞ n n + 1 ⋅ 1 x - 1 = l i m n → ∞ 1 1 + 1 n ⋅ x = x

Assim como a série é completamente convergente quando x < 1

Portanto o raio de convergência é 1

Então é isso galeraaaa☺

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de