Enunciado

(b) Escreva a série de potências que define a função f’ e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)

f x = ∑ n = 1 + ∞ ( - 1 ) n - 1 x n n

Passo 1

Olha nós de novo! O item (b) deixou mastigadinha no enunciado falando o que devemos fazer.

Olha só para determinar o raio de convergência ela disse que devemos utilizar o teorema da secção 13.1, mais conhecida de teorema da razão onde o l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde;

  • L   =   0 ela será convergente para todos os de x
  • L = +   ∞ (exceto quando x = a)
  • L   <   1 para x 1 < x < x 2 , por analise poderemos dizer o domínio da nossa serie

Não esqueçamos que o próprio enunciado determinou outro teorema pra obter a resposta que foi o teorema 13.2.1 que afirma o seguinte olha só:

Se tivermos uma série ∑ n = 0 + ∞ c n x n sendo uma série de potencias com um raio de convergência R > 0 então poderemos determinar uma derivada da série ∑ n = 1 + ∞ n c n x n - 1 também terá R como raio de convergência.

Assim com tudo em mãos é só correr para o abraço!

Passo 2

Primeiro de tudo vamos determinar a derivada atribuída para a série

f x = ∑ n = 1 + ∞ ( - 1 ) n - 1 x n n → f ' x = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 n ⋅ x n - 1 n = ∑ n = 1 + ∞ ( - 1 ) n - 1 x n - 1

Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão para isso vamos primeiro determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = ( - 1 ) n - 1 x n - 1

u n + 1 = ( - 1 ) n x n

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ ( - 1 ) n x n   x n - 1 n = l i m n → ∞ ( - 1 ) n x n ( - 1 ) n - 1 x n - 1

= l i m n → ∞ 1 x - 1 = x

Assim pessoal a potência de série é completamente convergente quando x < 1 , portanto o raio de convergência é 1

Então é isso galeraaaa☺

Resposta

1

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