Enunciado
Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 13.2 - Ex. 3b
(b) Escreva a série de potências que define a função f’ e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Secção 13.1 (verificando assim o teorema 13.2.1)
Passo 1
Olha nós de novo! O item (b) deixou mastigadinha no enunciado já dizendo o que devemos fazer.
Olha só para determinar o raio de convergência ela disse que devemos utilizar o teorema da secção 13.1, mais conhecida de teorema da razão onde o , para isso devemos considerar que se;
-> ela será convergente para todos os de x
-> (exceto quando x = a)
-> para , por análise poderemos dizer o domínio da nossa série
Não esqueçamos que ainda no próprio enunciado determinou outro teorema pra obter a resposta, que foi o teorema 13.2.1 que afirma o seguinte olha só:
Se tivermos uma série sendo uma série de potências com um raio de convergência então poderemos determinar uma derivada da série também terá R como raio de convergência.
Assim com tudo em mãos é só correr para o abraço!
BORA LÁÁÁÁÁ?
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos determinar a derivada atribuída para a série e racionalizar para não perdermos tempo
Seguindo o que nos foi dado... vamos utilizar o teorema da razão, onde encontraremos o raio que precisamos, antes vamos primeiro determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:
Substituindo os termos encontrados no limite.
Assim pessoal a potência de série é completamente divergente quando , portanto o raio de convergência é 1
Então é isso galeraaaa☺