Estudar os extremos das seguintes funções:

y = x^2 + 4x + 6

Passo 1

O extremo da função, é o ponto de mínimo ou máximo, onde ocorre a inflexão da curva, mudando de crescente para decrescente, ou vice versa.

Então fazemos aquele passo a passo que já conhecemos. Primeiro encontramos a derivada da função:

f (x) = x^2 + 4 x + 6

f^' (x) = (del)/(del x) (x^2 + 4 x + 6)

f^' (x) = (del)/(del x) x^2 + (del)/(del x) 4 x + (del)/(del x) 6

f^' (x) = 2 x + 4

Agora, o ponto de mínimo ou máximo será onde a primeira derivada da função é igual a zero. Então:

f^' (x) = 0

0 = 2 x + 4

- 4 = 2 x

- (4)/(2) = x

x = - 2

Sabendo o valor de x no ponto crítico, podemos encontrar qual será o valor de y , substituindo x = - 2 na função:

f^' (- 2) = (- 2)^2 + 4 (- 2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2

Portanto, a função tem seu ponto extremo no ponto ( - 2 , 2 ) .

Passo 2

Mas, e agora, pra saber se esse ponto é mínimo ou máximo?!

Calma, calma! É mais fácil que andar pra frente.

Basta analisarmos o sinal da segunda derivada da função.

Se:

y^(' ') > 0 -> p o n t o d e m í n i m o (c o n c a v i d a d e v o l t a d a p a r a c i m a)

y^(' ') < 0 -> p o n t o d e m á x i m o ( c o n c a v i d a d e v o l t a d a p a r a b a i x o )

y^(' ') = 0 -> p o d e m o s t e r u m p o n t o d e i n f l e x ã o *

  • Lembrando que nem todo ponto associado a f^(' ') (x) = 0 é ponto de inflexão, mas todo ponto de inflexão possui f^(' ') (x) = 0 !!!

Então:

f^(' ') (x) = (del)/(del x) (f^' (x)) = (del)/(del x) (2 x + 4) = 2

f^(' ') (x) > 0

Resposta

Logo, com a segunda derivada da função sendo maior que zero, temos um ponto de mínimo, com a concavidade da curva voltada para cima.

Muito difícil essa, né?? Haha.

Bora praticar mais pra fixar bem?