Estudar os extremos das seguintes funções:

y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 5

Passo 1

O extremo da função, é o ponto de mínimo ou máximo, onde ocorre a inflexão da curva, mudando de crescente para decrescente, ou vice versa.

Então fazemos aquele passo a passo que já conhecemos. Primeiro encontramos a derivada da função:

f (x) = 2 x^3 + 3 x^2 - 12 x + 5

f^' (x) = (del)/(del x) (2 x^3 + 3 x^2 - 12 x + 5)

f^' (x) = (del)/(del x) 2 x^3 + (del)/(del x) 3 x^2 - (del)/(del x) 12 x + (del)/(del x) 5

f^' (x) = 2 (3) x^2 + 3 (2) x - 12

f^' (x) = 6 x^2 + 6 x - 12

Agora, o ponto de mínimo ou máximo será onde a primeira derivada da função é igual a zero. Então:

f^' (x) = 0

0 = 6 x^2 + 6 x - 12

x = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a) Delta = b^2 - 4 a c

Delta = (6)^2 - 4 (6) (- 12) = 36 + 288 = 324

x = (- (6) +- sqrt(324))/(2 (6)) = (- 6 +- 18)/(12)

x_1 = (- 6 + 18)/(12) = (12)/(12) = 1

x_2 = (- 6 - 18)/(12) = - (24)/(12) = - 2

Portanto, teremos dois pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos então analisar a segunda derivada da função nesses dois pontos, para identificar se são pontos de máximo ou mínimo.

No ponto x = 1 :

f^(' ') (x) = (del)/(del x) (f^' (x)) = (del)/(del x) (6 x^2 + 6 x - 12) = 12 x + 6

f^(' ') (1) = 12 (1) + 6 = 18

f^(' ') (1) > 0

No ponto x = - 2 :

f^(' ') (- 2) = 12 (- 2) + 6 = - 24 + 6 = - 18

f^(' ') (- 2) < 0

Resposta

Como pudemos ver, a função apresenta um ponto de máximo em x = - 2 , e um ponto de mínimo em x = 1 , de acordo com o sinal que analisamos da segunda derivada da função.