Estudar os extremos das seguintes funções:

y = x^2 * (x - 12)^2

Passo 1

O extremo da função, é o ponto de mínimo ou máximo, onde ocorre a inflexão da curva, mudando de crescente para decrescente, ou vice versa.

Então fazemos aquele passo a passo que já conhecemos. Primeiro encontramos a derivada da função:

f (x) = x^2 (x - 12)^2

f (x) = x^2 (x^2 - 24 x + 144)

f (x) = x^4 - 24 x^3 + 144 x^2

f^' (x) = (del)/(del x) (x^4 - 24 x^3 + 144 x^2)

f^' (x) = (del)/(del x) x^4 - (del)/(del x) 24 x^3 + (del)/(del x) 144 x^2

f^' (x) = 4 x^3 - 24 (3) x^2 + 144 (2) x

f^' (x) = 4 x^3 - 72 x^2 + 288 x

Agora, o ponto de mínimo ou máximo será onde a primeira derivada da função é igual a zero. Então:

f^' (x) = 0

0 = 4 x^3 - 72 x^2 + 288 x

x (4 x^2 - 72 x + 288) = 0

x_1 = 0

4 x^2 - 72 x + 288 = 0

x = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a) Delta = b^2 - 4 a c

Delta = (- 72)^2 - 4 (4) (288) = 576

x = (- (- 72) +- sqrt(576))/(2 (4)) = (72 +- 24)/(8)

x_1 = (72 + 24)/(8) = (96)/(8) = 12 x_2 = (72 - 24)/(8) = (48)/(8) = 6

Portanto, teremos três pontos de máximo/mínimo.

Em x = 0 : y = x^2 (x - 12)^2 = 0^2 (0 - 12)^2 = 0 -> y = 0

Em x = 6 : y = x^2 (x - 12)^2 = 6^2 (6 - 12)^2 = 36 * 36 = 1296 -> y = 1296

Em x = 12 : y = x^2 (x - 12)^2 = 12^2 (12 - 12)^2 = 144 (0)^2 = 0 -> y = 0

Passo 2

Vamos então analisar a segunda derivada da função nesses três pontos, para identificar se são pontos de máximo ou mínimo.

No ponto x = 0 :

f^(' ') (x) = (del)/(del x) (f^' (x)) = (del)/(del x) (4 x^3 - 72 x^2 + 288 x) = 4 (3) x^2 - 72 (2) x + 288

f ' ' ( x ) = 12 x^2 - 144 x + 288

f^(' ') (0) = 12 ( 0 )^2 - 144 (0) + 288 = 288

f^(' ') (0) > 0

No ponto x = 6 :

f^(' ') (6) = 12 ( 6 )^2 - 144 (6) + 288 = 432 - 864 + 288 = - 144

f^(' ') (6) < 0

No ponto x = 12 :

f^(' ') (12) = 12 (12)^2 - 144 (12) + 288 = 1728 - 1728 + 288 = 288

f^(' ') (12) > 0

Resposta

Show! Assim, chegamos à conclusão de que a função apresenta dois pontos de mínimo, em x = 0 e x = 12 , e um ponto de máximo em x = 6 .