Estudar os extremos das seguintes funções:

y = 2 + x - x^2

Passo 1

O extremo da função, é o ponto de mínimo ou máximo, onde ocorre a inflexão da curva, mudando de crescente para decrescente, ou vice versa.

Então fazemos aquele passo a passo que já conhecemos. Primeiro encontramos a derivada da função:

f (x) = 2 + x - x^2

f^' (x) = (del)/(del x) (2 + x - x^2)

f^' (x) = (del)/(del x) 2 + (del)/(del x) x - (del)/(del x) x^2

f^' (x) = 1 - 2 x

Agora, o ponto de mínimo ou máximo será onde a primeira derivada da função é igual a zero. Então:

f^' (x) = 0

0 = 1 - 2 x

2 x = 1

x = (1)/(2)

Sabendo o valor de x no ponto crítico, podemos encontrar qual será o valor de y , substituindo x = - 2 na função:

f ((1)/(2)) = 2 + ((1)/(2)) - ((1)/(2))^2 = (5)/(2) - (1)/(4) = (10 - 1)/(4) = (9)/(4)

Portanto, a função tem seu ponto extremo no ponto ((1)/(2) , (9)/(4)) .

Passo 2

Mas, e agora, pra saber se esse ponto é mínimo ou máximo?!

Calma, calma! É mais fácil que andar pra frente.

Basta analisarmos o sinal da segunda derivada da função.

Se:

y^(' ') > 0 -> p o n t o d e m í n i m o (c o n c a v i d a d e v o l t a d a p a r a c i m a)

y^(' ') < 0 -> p o n t o d e m á x i m o ( c o n c a v i d a d e v o l t a d a p a r a b a i x o )

y^(' ') = 0 -> p o d e m o s t e r u m p o n t o d e i n f l e x ã o *

  • Lembrando que nem todo ponto associado a f^(' ') (x) = 0 é ponto de inflexão, mas todo ponto de inflexão possui f^(' ') (x) = 0 !!!

Então:

f^(' ') (x) = (del)/(del x) (f^' (x)) = (del)/(del x) (1 - 2 x) = - 2

f^(' ') (x) < 0

Resposta

Logo, com a segunda derivada da função sendo menor que zero, temos um ponto de máximo, com a concavidade da curva voltada para baixo.

Sem dúvidas? Se tiver, manda pra “noix”!