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Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

(b) ∑ k = 2 + ∞ 1 k 2   l n ⁡ ( k )

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = 1 x 2   l n ⁡ ( x )

Temos f x   contínua em [ 3 ; + ∞ [ , decrescente e positiva no mesmo intervalo.

Passo 2

Teremos então:

∫ 3 + ∞ 1 x 2   l n ⁡ ( x ) d x

Podemos utilizar da seguinte relação:

1 x 2   l n ⁡ ( x ) ≤ 1 x 2

Passo 3

Logo,

∫ 3 + ∞ 1 x 2 ln ⁡ x d x ≤ ∫ 3 + ∞ 1 x 2 =

Uma vez que:

∫ 3 + ∞ 1 x 2 = - 1 x + ∞ 3 = 1 3

Resposta

Portanto concluímos que, como

∫ 3 + ∞ 1 x 2 ln ⁡ x d x → c o n v e r g e

Então:

∑ k = 2 + ∞ 1 k 2   l n ⁡ ( k ) → c o n v e r g e

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