No exemplo 2, aproximamos o número transcendental e usando o método de Euler para solucionar o problema de valor inicial

y ' = y , y 0 = 1 .

Mostre que a aproximação de Euler y n obtida usando o tamanho de passo 1 / n é dada pela fórmula

y n = 1 + 1 n n ,               n = 1 ,   2 , …

Lembrando do cálculo, obtemos

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

e, portanto, o método de Euler converge (teoricamente) para o valor correto.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos uma questão pelo método de Euler, a equação é dada por:

y n + 1 = y n + h   f ( x , y )

Como a equação do enunciado é a seguinte.

y ' = y

Sendo o f ( x , y ) a função depois da igualdade, então podemos substituir f ( x , y )

y n + 1 = y n + h y n

y n + 1 = y n ( h + 1 )

O enunciado nos diz que h = 1 / n .

y n + 1 = y n 1 n + 1

Achando y 1 .

y 1 = y 0 1 n + 1

Onde y 0 = 1 , pelo enunciado.

y 1 = 1 n + 1

Achando y 2 .

y 2 = y 1 1 n + 1

Substituindo o valor que achamos de y 1 .

y 2 = 1 n + 1 2

Seguindo essa lógica, podemos concluir que:

y n = 1 n + 1 n

Como, o limite de y n quando n tende ao infinito é e , então, este PVI converge para e quando h = 1 / n .

Resposta

Resolução nos passos anteriores.