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Dê exemplo de equação diferencial que seja resolvida utilizando o Exercício 8.

Passo 1

Como exemplo, podemos adotar a equação diferencial:

x + y   d x + y - x   d y = 0

Com:

∂ Q ∂ x = - 1   e   ∂ P ∂ y = 1

Então:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y 2 y P - 2 x Q = - 1 - 1 2 y x + y - 2 x y - x = - 2 2 x y + y 2 - x y + x 2 = - 1 ( x 2 + y 2 )

Passo 2

Fazendo:

x 2 + y 2 = t

Então:

- 1 x 2 + y 2 = - 1 t

Desse modo:

u x ,   y = e - ∫ 1 t d t = 1 t = 1 x 2 + y 2

É um fator integrante, desde que ( x ,   y ) ≠ ( 0 ,   0 ) .

Passo 3

A equação equivalente passa a ser:

x x 2 + y 2 + y x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 - x x 2 + y 2 d y = 0

Integrando essa equação, obtemos:

1 2 ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) + arctan ⁡ x y = c

Com ( x ,   y ) ≠ ( 0 ,   0 ) .

Resposta

x + y   d x + y - x   d y = 0

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