De um exemplo de uma função que é contínua num ponto de um intervalo e descontínua em todos os outros pontos do intervalo ou provar que não existe uma tal função

Passo 1

Primeiro passo a se tornar nesta questão é considerar f contínua em x 0 , depois escolhendo alguns ∈ 0 ,

0 <   ∈ 0   < m i n ⁡ ( b - x 0 ,     x 0 - a ) , então ∃   δ 0 = δ ( x 0 , ∈ 0 )

Passo 2

Agora considere que ∈ 1 = ∈ 0 2 e   δ 0 = δ ( x 0 , ∈ 0 )

Depois considere que x 1 ∈ x 0 - δ 1 ,     x 0 + δ 1   de modo que │ f x - f ( x 0 ) 1

Agora prossiga para construir a δ para x 1 , sendo δ ( x 1 , ∈ 0 ) , assim

x - x 1 │ = │ x - x 0 + x 0 - x 1 │ <   │ x - x 0 │ + │ x 0 - x 1 │

Ai sem perda de generalidade, podemos especificar x 1 tal que │ x 0 - x 1 │ < δ 1 2 com isso, escolha apenas x de modo que

x - x 0 δ 1 2 < δ 1 x - x 1 < δ 1 2 + δ 1 2 = δ 1

Passo 3

Assim , para esse x termos ,

│ f x - f x 1 │ =   │ f x - f x 0 + f x 0 - f x 1 │ <   │ f x - f x 1 │ +   │ f x 1 - f x 0 │ <   ∈ 1 +   ∈ 1 =   ∈ 0

Então ∀ ∈ 0   ,   ∃ δ 1   para x 1 sendo f contínuo em x 1 ∈ a , b assim deve haver um número infinito de pontos contínuos em ( a , b ) e ,no mínimo, algum ou todos estão agrupados em torno do ponto dado para tornar f contínuo.

Resposta

∀ ∈ 0   ,   ∃ δ 1   para x 1 sendo f contínuo em x 1 ∈ a , b