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3. Dê exemplo de uma sequência de funções f n , sendo cada f n descontínua em todos os números reais, e tal que f : R → R dada por f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) , seja contínua.

Passo 1

f n x = 1 n , s e   x   f o r   r a c i o n a l - 1 n ,   s e   x   f o r   i r r a c i o n a l ,       n ≥ 1

Para todo x ,

lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) = 0 = f ( x )

As f n são descontínuas em todos os pontos, mas f é contínua. Sendo assim, consegue um exemplo para mostrar o que está sendo pedido no enunciado.

Resposta

f n x = 1 n , s e   x   f o r   r a c i o n a l - 1 n ,   s e   x   f o r   i r r a c i o n a l ,       n ≥ 1

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