Responde Aí

Enunciado

No Exemplo 3, usamos o Teorema de Green para obter a área de uma elipse. Calcule essa área usando a primeira e depois a segunda fórmula de (6).

Passo 1

Bora galera! Vamos resolver mais essa questão!

A fórmula de (6) citada na questão consiste:

A = ∮ C x d y =   - ∮ C y d x = 1 2 ∮ C - y d x + x d y

Do Exemplo 3, temos:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

x   =   a   c o s   t ,   y   =   b   s e n   t

A = π a b

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular

∮ C x d y = ∫ 0 2 π   a   c o s   t b c o s   t   d t = ∫ 0 2 π   a b t     d t = ∫ 0 2 π   a b 1 + c o s 2 t 2   d t = a b t + s e n 2 t 2 0 2 π = π a b

Passo 3

Por fim, vamos calcular

- ∮ C y d x = - ∫ 0 2 π   b   s e n   t   ( - a s e n t )   d t = - ∫ 0 2 π - a b t     d t = - ∫ 0 2 π -   a b 1 - c o s 2 t 2   d t = a b t - s e n 2 t 2 0 2 π = π a b

Resposta

π a b