No exercício 19, calcule o limite

lim u→0 (1 - cos²(u)) / u²

Passo 1

Oiiie, pronto para estudar mais um pouquinho?

A questão é bem direta ao ponto, pede para calcular o limite, então faremos isso! Essa em especial requer que a gente relembre algumas identidades trigonométricas e um dos limites fundamentais, belezinha?

Passo 2

Primeiro, lembrando que:

s i n^2 ( u ) + c o s^2 ( u ) = 1 -> 1 - c o s^2 ( u ) = s i n^2 ( u )

Então, podemos reescrever nosso limite da seguinte maneira:

underset(u -> 0)(l i m) (1 - c o s^2 ( u ))/(u^2) = underset(u -> 0)(l i m) (s i n^2 ( u ))/(u^2) = underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) ) ( (s i n ( u ))/(u) )

E, lembrando a seguinte propriedade do limite:

underset(u -> a)(l i m) f ( u ) g ( u ) = underset(u -> a)(l i m) f ( u ) underset(u -> a)(l i m) g ( u )

Portanto, nosso limite fica da forma:

underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) ) ( (s i n ( u ))/(u) ) = underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) ) underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) )

Agora é preciso identificar alguns limites fundamentais. Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 3

Vamos utilizar o seguinte limite fundamental:

underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) ) = 1

Sendo assim, nosso limite se resume a:

underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) ) underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) ) = ( 1 ) ( 1 ) = 1

Pronto. E sem usar L’Hospital ein!! Mas você pode usar se o professor deixar, e a vida fica ainda mais fácil!

Resposta

underset(u -> 0)(l i m) (1 - c o s^2 ( u ))/(u^2) = 1