No exercício 19, calcule o limite

lim(x→3) (x - 3) / sen(x - 3)

Passo 1

Oiiie, pronto para estudar mais um pouquinho?

A questão é bem direta ao ponto, pede para calcular o limite, então faremos isso! Nessa questão vamos usar um dos limites fundamentais, mas antes disso precisamos fazer uma pequena mudança de variável, mas vamos lá!

Passo 2

Vamos utilizar o seguinte limite fundamental:

underset(u -> 0)(l i m) ( (s i n ( u ))/(u) ) = 1

Mas para identificar isso, vamos fazer a seguinte mudança:

y = x - 3 -> x = y + 3

Nestas condições, temos que quando x -> 3 , temos que y -> 0 , então nosso limite fica na forma:

underset(x -> 3)(l i m) (x - 3)/(s i n ( x - 3 )) = underset(y -> 0)(l i m) (y)/(s i n ( y ))

Só um último detalhe para tomar cuidado, vamos dividir o numerador e o denominador por y (é o mesmo que multiplicar por 1), ficando com o seguinte:

underset(y -> 0)(l i m) (y)/(s i n ( y )) = underset(y -> 0)(l i m) (y // y)/(s i n ( y ) // y) = underset(y -> 0)(l i m) (1)/(s i n ( y ) // y) = (underset(y -> 0)(l i m) 1)/(underset(y -> 0)(l i m) s i n ( y ) // y) = (1)/(1) = 1

Pronto. E sem usar L’Hospital ein!! Mas você pode usar se o professor deixar, e a vida fica ainda mais fácil!

Resposta

underset(x -> 3)(l i m) (x - 3)/(s i n ( x - 3 )) = 1