No exercício 18, calcule o limite

lim(x→0) (sen(x) - cos(x) * sen(x)) / x²

Passo 1

Oiiie, pronto para estudar mais um pouquinho?

A questão é bem direta ao ponto, pede para calcular o limite, então faremos isso! Aqui nós vamos utilizar um limite fundamental para você colocar na sua listinha de fórmulas, e algumas propriedades de limite, beleza?

Passo 2

Aqui é importante notar a seguinte propriedade do limite:

underset(x -> a)(l i m) f ( x ) g ( x ) = underset(x -> a)(l i m) f ( x ) underset(x -> a)(l i m) g ( x )

Então, se reescrevermos nosso limite da seguinte maneira:

underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x ) - c o s ( x ) s i n ( x ))/(x^2) = underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x ) [ 1 - c o s ( x ) ])/(x^2) = underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x ))/(x) underset(x -> 0)(l i m) (1 - c o s ( x ))/(x)

Utilizando a seguinte identidade trigonométrica:

s i n^2 ( x ) = (1)/(2) [ 1 - c o s [ 2 x ] ]

Podemos identificar que:

1 - c o s ( x ) = 2 s i n^2 ( x // 2 ) = 2 s i n ( x // 2 ) s i n ( x // 2 )

Portanto, nosso limite fica da forma:

underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x ))/(x) underset(x -> 0)(l i m) (1 - c o s ( x ))/(x) = 2 underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x ))/(x) underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x // 2 ))/(x) underset(x -> 0)(l i m) s i n ( x // 2 )

Agora é preciso identificar alguns limites fundamentais. Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 3

Vamos utilizar o seguinte limite fundamental:

underset(x -> 0)(l i m) ( (s i n ( x ))/(x) ) = 1

No segundo limite no entanto é necessário fazer a seguinte mudança de variável y = x // 2 , portanto x = 2 y , e quando x -> 0 temos que y -> 0 . De forma que temos para este segundo limite:

underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x // 2 ))/(x) = (1)/(2) underset(y -> 0)(l i m) (s i n ( y ))/(y) = 1 // 2

Sendo assim, nosso limite se resume a:

2 underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x ))/(x) underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x // 2 ))/(x) underset(x -> 0)(l i m) s i n ( x // 2 ) = 2 ( 1 ) ( (1)/(2) ) ( 0 ) = 0

Pronto. E sem usar L’Hospital ein!! Mas você pode usar se o professor deixar, e a vida fica ainda mais fácil!

Resposta

underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( x ) - c o s ( x ) s i n ( x ))/(x^2) = 0