No exercício 14, calcule o limite

lim(x→0) x / sin(3x)

Passo 1

Oiiie, pronto para estudar mais um pouquinho?

A questão é bem direta ao ponto, pede para calcular o limite, então faremos isso! O que precisamos aqui é utilizar de algumas propriedades e limites fundamentais, e alguns truquezinhos algébricos. Beleza? Bora lá!

Passo 2

É um pouquinho difícil de enxergar, mas note que se dividir o denominador e o numerador por x (Equivalente a multiplicar por 1), é possível reescrever este limite da forma:

underset(x -> 0)(l i m) (x)/(s i n ( 3 x )) = underset(x -> 0)(l i m) (x // x)/(s i n ( 3 x ) // x) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/(s i n ( 3 x ) // x) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x ->)(l i m) s i n ( 3 x ) // x)

O limite no denominador utiliza o seguinte limite fundamental:

underset(x -> 0)(l i m) (s i n x)/(x) = 1

Para visualizar isso, vamos fazer a seguinte mudança de variáveis no enunciado 3 x = y , portanto x = y // 3 , e quando x -> 0 temos que y -> 0 . Temos então:

underset(y -> 0)(l i m) (s i n y)/(y // 3) = 3 underset(y -> 0)(l i m) (s i n y)/(y) = 3

Portanto, temos:

underset(x -> 0)(l i m) (x)/(s i n ( 3 x )) = (1)/(3)

Resposta

underset(x -> 0)(l i m) (x)/(s i n ( 3 x )) = (1)/(3)