No exercício 15, calcule o limite

lim(x→0) (sen(2x) / sen(5x))

Passo 1

Oiiie, pronto para estudar mais um pouquinho?

A questão é bem direta ao ponto, pede para calcular o limite, então faremos isso! O que precisamos aqui é utilizar de algumas propriedades e limites fundamentais, e alguns truquezinhos algébricos. Beleza? Bora lá!

Passo 2

É um pouquinho difícil de enxergar, mas note que se dividir o denominador e o numerador por x (Equivalente a multiplicar por 1), é possível reescrever este limite da forma:

underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( 2 x ))/(s i n ( 5 x )) = underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( 2 x ) // x)/(s i n ( 5 x ) // x) = (underset(x -> 0)(l i m) s i n ( 2 x ) // x)/(underset(x -> 0)(l i m) s i n ( 5 x ) // x)

Podemos analisar o denominador e o numerador individualmente. Ambos vão utilizar o seguinte limite fundamental:

underset(x -> 0)(l i m) (s i n x)/(x) = 1

Para o numerador vamos fazer a seguinte mudança de variáveis 2 x = y , portanto x = y // 2 , e quando x -> 0 temos que y -> 0 . Para o denominador vamos fazer algo semelhante, tal que 5 x = w , portanto x = w // 5 , em que x -> 0 temos w -> 0 . Temos então:

(underset(x -> 0)(l i m) s i n ( 2 x ) // x)/(underset(x -> 0)(l i m) s i n ( 5 x ) // x) = (underset(y -> 0)(l i m) s i n ( y ) // y // 2)/(underset(w -> 0)(l i m) s i n ( w ) // w // 5) = (2)/(5) (underset(y -> 0)(l i m) s i n ( y ) // y)/(underset(w -> 0)(l i m) s i n ( w ) // w) = (2)/(5)

Resposta

underset(x -> 0)(l i m) (s i n ( 2 x ))/(s i n ( 5 x )) = (2)/(5)