Este exercício pede para esboçar outra demonstração da continuidade do seno e do cosseno

Passo 1

Na letra (a) ele pede para utilizar a desigualdade │ s e n x │ <   │ x │ , válida para 0 <   │ x │ < π 2 e provar que a função é continua em 0

Para iniciar sendo,

│ s e n x - 0 │ =   │   │ s e n x │ <   │ x │ │ , escolhendo δ =   ∈ para um dado

Então,

∀ ∈   > 0 ,   ∃   δ > 0 tal que │ s e n x - 0 │ <   ∈ quando │ x │ < δ

Passo 2

Já na letra (b) pede para demonstrar, sendo a identidade igual a c o s 2 x = 1 - 2 s e n 2 x , que o cosseno é contínuo em o

Nesta aqui basta dizer que,

│ c o s x - 1 │ = │ - 2 s e n 2 x 2   │ = 2   │ s e n x 2   │ 2 < 2   │ x 2 │ 2   = │ x │ 2 2 < 2 ∈ 2

Assim se tivessemos escolhido δ 0 =   2 ∈   para um dado , então │ x - 0 │ < δ =   2 ∈

Passo 3

E na letra ( c ) ele pede para usar as formulas de adição para o s e n ( x + h ) e c o s ⁡ ( x + h ) para provar que o seno e o cosseno são contínuas para qualquer real x

E para provar isso vamos ter que dizer que:

│ s e n x c o s h - 1 + c o s x   s e n h │ ≤   │ s e n x │ │ c o s h - 1 │ + │ c o s h │ │ s e n h │ <   ∈ 0 2 + ∈ 0 2 =   ∈

│ c o s x + h - c o s x │ = │ c o s x c o s h - s e n x s e n h - c o s x │ =   │ c o s x c o s h - 1 - s e n x s e n h │ ≤   │ c o s x │ │ c o s h - 1 │ + │ s e n x │ │ s e n h │ <   ∈ 2 + ∈ 2 =   ∈

Então

∀   ∈   > 0   ∃ δ 1 ,   δ 2 > 0   t a l   q u e   │ c o s h - 1 │ <   ∈ 0 ,

│ s e n h │ <   ∈   sempre que │ h │ δ 1 , δ 2 )

Escolhendo δ 3 tal que se │ h │ < δ 3 ;

│ cos ⁡ h - 1 │ <   ∈ 2 ;

│ s e n h │ <   ∈ 2

Resposta

a)   ∀ ∈   > 0 ,   ∃   δ > 0 tal que │ s e n x - 0 │ <   ∈ quando │ x │ < δ

b) │ x - 0 │ < δ =   2 ∈

c) ∀   ∈   > 0   ∃ δ 1 ,   δ 2 > 0   t a l   q u e   │ c o s h - 1 │ <   ∈ 0 ,

│ s e n h │ <   ∈   sempre que │ h │ δ 1 , δ 2 )

Escolhendo δ 3 tal que se │ h │ < δ 3 ;

│ cos ⁡ h - 1 │ <   ∈ 2 ;

│ s e n h │ <   ∈ 2