Nos exercícios de 7 a 10, ache os co-senos diretores do vetor V = (P_1, P_2) → e teste as respostas, verificando que a soma dos seus quadrados é 1.

8. P1 = -2, 6, 5; P2(2, 4, 1)

Passo 1

Primeiramente construímos o vetor V ( P 1 P 2 → ) , com a subtração entre o ponto P 2   e   P 1 , de forma que:

P 1 P 2 → =   P 2 - P 1 ⇒   - 2 ,   6 ,   5 - ( 2 ,   4 ,   1 ) ⇒ ( - 2 - 2 ,   6 - 4 ,   5 - 1 )

P 1 P 2 → = ( - 4 ,   2 ,   4 )

Para o modulo do vetor P 1 P 2 → vale:

‖ P 1 P 2 → ‖ = - 4 2 +   2 2 +   4 2 ⇒ 36 ⇒ 6

Passo 2

Sabendo que para um vetor V ( a ,   b ,   c ) os co-senos diretores são dados por:

c o s   α   = a ‖ V ‖ ;   c o s   β   = b ‖ V ‖ ;   c o s   γ   = c ‖ V ‖

Utilizando a relação mostrada anteriormente vamos então calcular os co-senos diretores, de forma que:

c o s   α   = - 4 6 = - 2 3

c o s   β   = 2 6 = 1 3

c o s   γ   = 4 6 = 2 3

Passo 3

Agora só resta verificar se a soma dos quadrados é 1, para isso escrevemos:

α   + β   + γ   = - 2 3 2 + 1 3 2 + 2 3 2

α   + β   + γ   = 4 9 + 1 9 + 4 9 ⇒ 9 9

α   + β   + γ   = 1

Resposta

c o s   α   = - 2 3 ;   c o s   β   = 1 3 ;   c o s   γ   = 2 3