Nos exercícios de 7 a 10, ache os co-senos diretores do vetor V = (P1, P2) e teste as respostas, verificando que a soma dos seus quadrados é 1.

9. P1(4, -3, -1); P2(-2, -4, -8)

Passo 1

Primeiramente construímos o vetor V ( P 1 P 2 → ) , com a subtração entre o ponto P 2   e   P 1 , de forma que:

P 1 P 2 → =   P 2 - P 1 ⇒   4 ,   - 3 ,   - 1 -   ( - 2 ,   - 4 ,   - 8 ) ⇒ ( 4 + 2 ,   - 3 + 4 ,   - 1 + 8 )

P 1 P 2 → = ( 6 ,   1 ,   7 )

Para o modulo do vetor P 1 P 2 → vale:

‖ P 1 P 2 → ‖ = 6 2 +   1 2 +   7 2 ⇒ 86

Passo 2

Sabendo que para um vetor V ( a ,   b ,   c ) os co-senos diretores são dados por:

c o s   α   = a ‖ V ‖ ;   c o s   β   = b ‖ V ‖ ;   c o s   γ   = c ‖ V ‖

Utilizando a relação mostrada anteriormente vamos então calcular os co-senos diretores, de forma que:

c o s   α   = 6 86

c o s   β   = 1 86

c o s   γ   = 7 86

Passo 3

Agora só resta verificar se a soma dos quadrados é 1, para isso escrevemos:

α   + β   + γ   = 6 86 2 + 1 86 2 + 7 86 2

α   + β   + γ   = 36 86 + 1 86 + 49 86 ⇒ 86 86

α   + β   + γ   = 1

Resposta

c o s   α   = 6 86 ;   c o s   β   = 1 86 ;   c o s   γ   = 7 86