Enunciado

Nos exercícios de 7 a 10, ache os co-senos diretores do vetor V = ( P 1 P 2 → ) e teste as respostas, verificando que a soma dos seus quadrados é 1.

10. P 1   1 ,   3 ,     5 ;   P 2 ( 2 ,   - 1 ,     4 )

Passo 1

Primeiramente construímos o vetor V ( P 1 P 2 → ) , com a subtração entre o ponto P 2   e   P 1 , de forma que:

P 1 P 2 → =   P 2 - P 1 ⇒   1 ,   3 ,   5 - ( 2 ,   - 1 ,   4 ) ⇒ ( 1 - 2 ,   3   + 1 ,   5 - 4 )

P 1 P 2 → = ( - 1 ,   4 ,   1 )

Para o modulo do vetor P 1 P 2 → vale:

‖ P 1 P 2 → ‖ = - 1 2 +   4 2 +   1 2 ⇒ 18 ⇒ 3 2

Passo 2

Sabendo que para um vetor V ( a ,   b ,   c ) os co-senos diretores são dados por:

c o s c o s   α   = a ‖ V ‖ ;   c o s c o s   β   = b ‖ V ‖ ;   c o s c o s   γ   = c ‖ V ‖

Utilizando a relação mostrada anteriormente vamos então calcular os co-senos diretores, de forma que:

c o s c o s   α   = - 1 3 2

c o s c o s   β   = 4 3 2

c o s c o s   γ   = 1 3 2

Passo 3

Agora só resta verificar se a soma dos quadrados é 1, para isso escrevemos:

α   + β   + γ   = - 1 3 2 2 + 4 3 2 2 + 1 3 2 2

α   + β   + γ   = 1 9   .   2 + 16 9   .   2 + 1 9   .   2 ⇒ 1 + 16 + 1 18 ⇒ 18 18

α   + β   + γ   = 1

Resposta

c o s   α   = - 1 3 2 ;   c o s   β   = 4 3 2 ;   c o s   γ   = 1 3 2

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