Nos exercícios de 7 a 10, ache os co senos diretores do vetor V = (P_1, P_2) → e teste as respostas, verificando que a soma dos seus quadrados é 1.

7. P1(3, -1, -4); P2(7, 2, 4)

Passo 1

Primeiramente construímos o vetor V ( P 1 P 2 → ) , com a subtração entre o ponto P 2   e   P 1 , de forma que:

P 1 P 2 → =   P 2 - P 1 ⇒     7 ,   2 ,   4 - 3 ,   - 1 ,   - 4 ⇒ ( 7 - 3 ,   2 + 1 ,   4 + 4 )

P 1 P 2 → = ( 4 ,   3 ,   8 )

Para o modulo do vetor P 1 P 2 → vale:

‖ P 1 P 2 → ‖ = 4 2 +   3 2 +   8 2 ⇒ 89

Passo 2

Sabendo que para um vetor V ( a ,   b ,   c ) os co-senos diretores são dados por:

c o s   α   = a ‖ V ‖ ;   c o s   β   = b ‖ V ‖ ;   c o s   γ   = c ‖ V ‖

Utilizando a relação mostrada anteriormente vamos então calcular os co-senos diretores, de forma que:

c o s   α   = 4 89

c o s   β   = 3 89

c o s   γ   = 8 89

Passo 3

Agora só resta verificar se a soma dos quadrados é 1, para isso escrevemos:

α   + β   + γ   = 4 89 2 + 3 89 2 + 8 89 2

α   + β   + γ   = 16 89 + 9 89 + 64 89 ⇒ 89 89

α   + β   + γ   = 1

Resposta

c o s   α   = 4 89 ;   c o s   β   = 3 89 ;   c o s   γ   = 8 89