Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

11 .   f x ,   y = 2 x 2 y - 3 x y 2 + 4 x - 2 y ; (e) D 12 f ( x , y )

Passo 1

A notação D 12 f ( x , y ) indica que na derivada parcial devemos considerar o primeiro termo como variável e o segundo como constante, de forma que escrevemos:

D 1 f x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ x = ∂ ( 2 x 2 y - 3 x y 2 + 4 x - 2 y ) ∂ x

Uma forma de derivar a equação é utilizar a regra do tombo que pode ser exemplificada por:

d c 1 x a + c 2 d x = a . c . x a - 1 + 0

Onde os termos c 1 e c 2 são constantes arbitrarias.

Passo 2

Aplicando a regra a função desejada, lembrando de considerar todos os termos, exceto “x”, como constantes, temos:

∂ ( 2 x 2 y - 3 x y 2 + 4 x - 2 y ) ∂ x = 2.2 x 2 - 1 y - 1 .   3 x 1 - 1 y 2 + 1 .   4 x 1 - 1 - 0 = 4 x y - 3 y 2 + 4

No entanto esse resultado é para D 1 f x , y a notação D 12 f x , y indica que devemos derivar mais uma vez, no entanto desta vez utilizando o segundo termo como variável, sendo assim escrevemos:

D 12 f x , y = ∂ ( 4 x y - 3 y 2 + 4 ) ∂ y

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia novamente temos:

∂ ( 4 x y - 3 y 2 + 4 ) ∂ y = 1 .   4 x y 1 - 1 - 3.2 y 2 - 1 + 0 = 4 x - 6 y

Resposta

D 12 f x , y = 4 x - 6 y