Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

11 .   f x ,   y = 2 x 2 y - 3 x y 2 + 4 x - 2 y ; (d) D 22 f ( x , y )

Passo 1

A notação D 22 f ( x , y ) indica que na derivada parcial devemos considerar o segundo termo como variável e o primeiro como constante, de forma que escrevemos:

D 2 f x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ y = ∂ ( 2 x 2 y - 3 x y 2 + 4 x - 2 y ) ∂ y

Uma forma de derivar a equação é utilizar a regra do tombo que pode ser exemplificada por:

d c 1 y a + c 2 d y = a . c . y a - 1 + 0

Onde os termos c 1 e c 2 são constantes arbitrarias.

Passo 2

Aplicando a regra a função desejada, lembrando de considerar todos os termos, exceto “y”, como constantes, temos:

∂ ( 2 x 2 y - 3 x y 2 + 4 x - 2 y ) ∂ y = 1.2 x 2 y 1 - 1 - 3.2 x y 2 - 1 + 0 - 2.1 y 1 - 1 = 2 x 2 - 6 x y - 2

No entanto esse resultado é para D 2 f x , y a notação D 22 f x , y indica que devemos derivar mais uma vez utilizando o segundo termo como variável, sendo assim escrevemos:

D 22 f x , y = ∂ ( 2 x 2 - 6 x y - 2 ) ∂ y

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia novamente temos:

∂ ( 2 x 2 - 6 x y - 2 ) ∂ y = 0 - 1.6 x y 1 - 1 - 0 = - 6 x

Resposta

D 22 f x , y = - 6 x

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