Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

12 .   f x ,   y = ( 4 x 2 - 2 y ) 3 (c) f 1 ( x , y )

Passo 1

A notação f 11 ( x , y ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando o primeiro termo como variável e o segundo como constante, de forma que escrevemos:

f 11 x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ x = ∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ x

Podemos separar a função em duas funções diferentes de forma que:

f g x = ( 4 x 2 - 2 y ) 3

Podemos mudar a variável e escrever:

f u = u 3 ,   c o m   u = 4 x 2 - 2 y

Para facilitar o entendimento podemos chamar a função principal de “y”, dessa forma escrevemos:

y = ( 4 x 2 - 2 y ) 3

Ou:

y = u 3

Com:

u = 4 x 2 - 2 y

Escrevemos então pela regra da cadeia que:

d y d x = d y d u . d u d x

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia função escrevemos:

f 1 x , y = ∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ x = d u 3 d u   .   ∂ 4 x 2 - 2 y ∂ x

Resultando em:

f 1 x , y = ∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ x = 3 u 2 . 2   .   4 x = 24 u 2 . x

Voltando para a variável “x”:

f 1 x , y = 24 x 4 x 2 - 2 y 2

Passo 3

Agora resta derivar a função   f 1 x , y , porém desta vez temos uma multiplicação de funções, relembrando da regra do produto:

d ( u . v ) d x = u . d v d x + v d u d x

Sendo assim para f 11 x , y escrevemos:

∂ 24 x 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x = 24 x . ∂ 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x + 4 x 2 - 2 y 2 ∂ 24 x ∂ x

Para o primeiro termo devemos reaplicar a regra da cadeia, ficando:

∂ 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x = d u 2 d u   .   ∂ 4 x 2 - 2 y ∂ x ⇒ 2 . u . 2.4 . x = 16 u . x

Voltando para variável “x”:

∂ 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x = 16 . x . ( 4 x 2 - 2 y )

Retornando a regra do produto temos:

∂ 24 x 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x = 24 . x . 16 . x . 4 x 2 - 2 y +   4 x 2 - 2 y 2 ∂ 24 x ∂ x

Ficando:

∂ 24 x 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x = 16 . x 2 . 24 4 x 2 - 2 y + 24 . 4 x 2 - 2 y 2

Colocando os termos semelhantes em evidência escrevemos:

∂ 24 x 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x = 24 4 x 2 - 2 y . 16 x 2 + 4 x 2 - 2 y ⇒ 24 4 x 2 - 2 y . 20 x 2 - 2 y

Realizando as multiplicações temos:

∂ 24 x 4 x 2 - 2 y 2 ∂ x = 96 x 2 - 48 y . 20 x 2 - 2 y

f 11 x , y = 96 x 2 . 20 x 2 + 96 x 2 . - 2 y + - 48 y .   20 x 2 + - 48 y . 2 y

f 11 x , y = 1920 x 4 - 192 x 2 . y - 960 . x 2 . y + 96 y 2

f 11 x , y = 1920 x 4 - 1152 . x 2 . y + 96 y 2

Resposta

f 11 x , y = 1920 x 4 - 1152 . x 2 . y + 96 y 2

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