Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

12 .   f x ,   y = ( 4 x 2 - 2 y ) 3 (c) f 1 ( x , y )

Passo 1

A notação f 12 ( x , y ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando o primeiro termo como variável e o segundo como constante na primeira derivação e invertendo essa relação na segunda, de forma que escrevemos:

f 1 x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ x = ∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ x

Podemos separar a função em duas funções diferentes de forma que:

f g x = ( 4 x 2 - 2 y ) 3

Podemos mudar a variável e escrever:

f u = u 3 ,   c o m   u = 4 x 2 - 2 y

Para facilitar o entendimento podemos chamar a função principal de “y”, dessa forma escrevemos:

y = ( 4 x 2 - 2 y ) 3

Ou:

y = u 3

Com:

u = 4 x 2 - 2 y

Escrevemos então pela regra da cadeia que:

d y d x = d y d u . d u d x

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia função escrevemos:

f 1 x , y = ∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ x = d u 3 d u   .   ∂ 4 x 2 - 2 y ∂ x

Resultando em:

f 1 x , y = ∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ x = 3 u 2 . 2   .   4 x = 24 u 2 . x

Voltando para a variável “x”:

f 1 x , y = 24 x 4 x 2 - 2 y 2

Passo 3

Agora resta derivar a função   f 1 x , y , aplicando a regra da cadeia novamente. Sendo assim

f 12 x , y fica:

f 12 x , y = ∂ 24 x 4 x 2 - 2 y 2 ∂ y = d 24 . x . u 2 d u   .   ∂ 4 x 2 - 2 y ∂ y ⇒ 2 . u . 2   .   24 . x = 96   .   x   . u

Voltando para a variável “y”:

f 12 x , y = 96   .   x   .   ( 4 x 2 - 2 y )

Resposta

f 12 x , y = 96   .   x   .   ( 4 x 2 - 2 y )

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