Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

12 .   f x ,   y = ( 4 x 2 - 2 y ) 3 (d) f 22 ( x , y )

Passo 1

A notação f 22 ( x , y ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando o segundo termo como variável e o primeiro como constante, de forma que escrevemos:

f 2 x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ y = ∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ y

Podemos separar a função em duas funções diferentes de forma que:

f g y = ( 4 x 2 - 2 y ) 3

Podemos mudar a variável e escrever:

f u = u 3 ,   c o m   u = 4 x 2 - 2 y

Para facilitar o entendimento podemos chamar a função principal de “z”, dessa forma escrevemos:

z = ( 4 x 2 - 2 y ) 3

Ou:

z = u 3

Com:

u = 4 x 2 - 2 y

Escrevemos então pela regra da cadeia que:

d z d y = d z d u . d u d y

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia função escrevemos:

∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ y = d u 3 d u   .   ∂ 4 x 2 - 2 y ∂ y

Resultando em:

∂ ( 4 x 2 - 2 y ) 3 ∂ y = 3 u 2 . 1   .   2 = 6 u 2

Voltando para a variável “y”:

f 2 x , y = 6 .   4 x 2 - 2 y 2

Passo 3

Agora resta derivar a função   f 2 x , y aplicando a regra da cadeia novamente. Sendo assim para f 22 x , y escrevemos:

∂ 6 .   4 x 2 - 2 y 2 ∂ y = d 6 . u 2 d u   .   ∂ 4 x 2 - 2 y ∂ y ⇒ 2   .   6 . u . 2 = 24 . u

Voltando para a variável “y”:

f 22 x , y = 24 . ( 4 x 2 - 2 y )

Resposta

f 22 x , y = 24 . ( 4 x 2 - 2 y )

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