Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

13 .   f x ,   y = x 2 - y 3 y 2 (a) f y ( x , y )

Passo 1

A notação f y ( x , y ) indica que na derivada parcial devemos considerar o segundo termo como variável e o primeiro como constante, de forma que escrevemos:

f y x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ y = ∂ x 2 - y 3 y 2 ∂ y

Passo 2

Podemos reescrever a função de forma a facilitar a derivação, ficando:

x 2 - y 3 y 2 ⇒ x 2 y - 2 3 - y 3 y 2 ⇒ x 2 y - 2 3 - y 3 y 2 ⇒ x 2 y - 2 3 - y - 1 3 ⇒ x 2 y - 2 - y - 1 3

Colocando na derivada:

f y x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ y = ∂ x 2 y - 2 - y - 1 3 ∂ y

Passo 3

Uma forma de derivar a equação é utilizar a regra do tombo que pode ser exemplificada por:

d c 1 y a + c 2 d y = a . c . y a - 1 + 0

Onde os termos c 1 e c 2 são constantes arbitrarias.

Aplicando na derivada:

∂ x 2 y - 2 - y - 1 3 ∂ y ⇒ - 2 x 2 y - 3 - - 1 y - 2 3 = - 2 x 2 3 y 3 + 1 3 y 2 ⇒ y - 2 x 2 3 y 3

Resposta

f y x , y = y - 2 x 2 3 y 3

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