Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

13 .   f x ,   y = x 2 - y 3 y 2 (c) f x y ( x , y )

Passo 1

A notação f x y ( x , y ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando o primeiro termo como variável e o segundo como constante na primeira derivação e invertendo a relação na segunda, de forma que escrevemos:

f x x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ x = ∂ x 2 - y 3 y 2 ∂ x

Passo 2

Uma forma de derivar a equação é utilizar a regra do tombo que pode ser exemplificada por:

d c 1 x a + c 2 d x = a . c . x a - 1 + 0

Onde os termos c 1 e c 2 são constantes arbitrarias.

Aplicando a regra do tombo função escrevemos:

f x x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ x = ∂ x 2 - y 3 y 2 ∂ x ⇒ 2 x 3 y 2

Passo 3

Agora resta derivar a função f x x , y , dessa vez em relação a “y”, ficando:

f x y x , y = ∂ f x ( x , y ) ∂ y = ∂ f x 2 x 3 y 2 ∂ y

Para resolver pela regra do tombo primeiro reescrevemos a função ficando da seguinte forma:

f x y x , y = ∂ f x 2 x y - 2 3 ∂ y ⇒ - 2   .   2 x y - 2 - 1 3 ⇒ - 4 x y - 3 3 ⇒ - 4 x 3 y 3

Resposta

f x y x , y = - 4 x 3 y 3

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