Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

13 .   f x ,   y = x 2 - y 3 y 2 (d) f y x ( x , y )

Passo 1

A notação f y x ( x , y ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando o segundo termo como variável e o primeiro como constante na primeira derivação e invertendo a relação na segunda, de forma que escrevemos:

f y x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ y = ∂ x 2 - y 3 y 2 ∂ y

Passo 2

Podemos reescrever a função de forma a facilitar a derivação, ficando:

x 2 - y 3 y 2 ⇒ x 2 y - 2 3 - y 3 y 2 ⇒ x 2 y - 2 3 - y 3 y 2 ⇒ x 2 y - 2 3 - y - 1 3 ⇒ x 2 y - 2 - y - 1 3

Colocando na derivada:

f y x , y = ∂ f ( x , y ) ∂ y = ∂ x 2 y - 2 - y - 1 3 ∂ y

Uma forma de derivar a equação é utilizar a regra do tombo que pode ser exemplificada por:

d c 1 y a + c 2 d y = a . c . y a - 1 + 0

Onde os termos c 1 e c 2 são constantes arbitrarias.

Aplicando na derivada:

∂ x 2 y - 2 - y - 1 3 ∂ y ⇒ - 2 x 2 y - 3 - - 1 y - 2 3 = - 2 x 2 3 y 3 + 1 3 y 2 ⇒ y - 2 x 2 3 y 3

Passo 3

Agora resta derivar a função f y x , y , dessa vez em relação a “x”, ficando:

f y x x , y = ∂ f y ( x , y ) ∂ x = ∂ f y y - 2 x 2 3 y 3 ∂ x

Para resolver pela regra do tombo resolvemos da seguinte forma:

f y x x , y = ∂ f y y - 2 x 2 3 y 3 ∂ x ⇒ 0 - 2   .   2 x 2 - 1 3 y 3 ⇒ - 4 x 3 y 3

Resposta

f x y x , y = - 4 x 3 y 3

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