Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

14 .   f r ,   s = r e 2 r s ,   ( c ) D r s f ( r , s )

Passo 1

A notação D f r s ( r , s ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando a primeira letra (r) como variável e a segunda (s) como constante na primeira derivação e invertendo a relação na segunda, de forma que escrevemos, para a primeira derivação:

D f r ( r , s ) = ∂ f ( r , s ) ∂ r = ∂ r e 2 r s ∂ r

Agora resta derivar a função   f ( r , s ) , porém temos uma multiplicação de funções, relembrando, então, da regra do produto:

d ( u . v ) d x = u . d v d x + v d u d x

Passo 2

Aplicando a regra do produto a função temos:

∂ r e 2 r s ∂ r = r ∂ e 2 r s ∂ r + e 2 r s ∂ r ∂ r

Vamos calcular separadamente as derivações, começando pelo primeiro membro, aplicando a regra da cadeia:

∂ e 2 r s ∂ r = e 2 r s . ∂ 2 r s ∂ r ⇒ e 2 r s . 2 s

Para a segunda derivação:

∂ r ∂ r = r 1 - 1 = 1

Resultando em:

r . e 2 r s . 2 s + e 2 r s . 1

Simplificando:

f r ( r , s ) = e 2 r s ( 2 s r + 1 )

Passo 3

Agora resta derivar   f r ( r , s ) , para esse escrevemos a regra do produto novamente ficando: ∂ e 2 r s ( 2 s r + 1 ) ∂ s = e 2 r s ∂ 2 s r + 1 ∂ s + ( 2 s r + 1 ) ∂ e 2 r s ∂ s

Para o primeiro basta aplicar a regra do tombo e para o segundo basta aplicar a regra da cadeia, de forma que escrevemos:

∂ 2 s r + 1 ∂ s = 2 r ;   ∂ e 2 r s ∂ s = e 2 r s . ∂ 2 r s ∂ s = 2 . r . e 2 r s

Resultando em:

∂ e 2 r s ( 2 s r + 1 ) ∂ r = e 2 r s . 2   .   r + ( 2 s r + 1 ) . e 2 r s . 2   . r ⇒ 2 r e 2 r s ( 2 s r + 1 + 1 )

∂ e 2 r s ( 2 s r + 1 ) ∂ r = 2 r e 2 r s ( 2 s r + 2 )

Ou, simplificando:

D f r s ( r , s ) = 4 r e 2 r s ( s r + 1 )

Resposta

D f r s ( r , s ) = 4 r e 2 r s ( s r + 1 )

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