Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

14 . f(r, s) = r * e^(2rs), (d) D_s f(r, s)

Passo 1

A notação D f s r ( r , s ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando a segunda letra (s) como variável e a primeira (r) como constante na primeira derivação e invertendo a relação na segunda, de forma que escrevemos, para a primeira derivação:

D f s ( r , s ) = ∂ f ( r , s ) ∂ s = ∂ r e 2 r s ∂ s

Derivando a função   f ( r , s ) , aplicando a regra da cadeia escrevemos:

∂ r e 2 r s ∂ s = r e 2 r s . ∂ 2 r s ∂ s ⇒ r e 2 r s . 2 r

Simplificando:

r e 2 r s . 2 r = 2 r 2 e 2 r s

Passo 2

Agora resta derivar a função   f s ( r , s ) , no entanto para essa derivação utilizaremos a regra do produto descrita por:

d ( u . v ) d x = u . d v d x + v d u d x

Aplicando a função, lembrando de derivar em relação a “r” escrevemos:

∂ 2 r 2 e 2 r s ∂ r = 2 r 2 . ∂ e 2 r s ∂ r + e 2 r s . ∂ 2 r 2 ∂ r

Passo 3

Separamos as derivações em duas e a calculamos separadamente, começamos aplicando a regra da cadeia na primeira:

∂ e 2 r s ∂ r = e 2 r s . ∂ 2 r s ∂ r = 1.2 . s . r 1 - 1 . e 2 r s ⇒ 2 . s   . e 2 r s

Para a segunda:

∂ 2 r 2 ∂ r = 2   .   2   . r 2 - 1 ⇒ 4   .   r

Retornando para a regra do produto temos:

D f s r ( r , s ) = 2 r 2 . 2 . s   . e 2 r s + e 2 r s . 4   .   r

D f s r ( r , s ) = 4 r 2 . s   . e 2 r s + 4 . r . e 2 r s

Simplificando:

D f s r ( r , s ) = 4 r e 2 r s r s + 1

Resposta

D f s r ( r , s ) = 4 r e 2 r s r s + 1