Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

15 .   g s ,   t = s e n ( s t 2 ) + t e s ,   ( c ) D s t g ( s , t )

Passo 1

A notação D g s t ( s , t ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando a primeira letra (s) como variável na primeira vez e invertendo essa relação na segunda, ficando, para a primeira derivação:

D g s ( s , t )   = ∂ s e n ( s t 2 ) + t e s ∂ s

Passo 2

Dividimos a derivação em duas, de forma que obtemos:

D g s ( s , t )   = ∂ s e n ( s t 2 ) ∂ s + ∂ t e s ∂ s

Para a primeira derivação aplica-se a regra da cadeia, com u = s t 2 , ficando:

∂ s e n ( s t 2 ) ∂ s = d s e n ( u ) d u   .   ∂ s t 2 ∂ s

Resultando em:

∂ s e n ( s t 2 ) ∂ s = c o s   ( u )   . t 2  

Voltando para a variável " s " :

∂ s e n ( s t 2 ) ∂ s = t 2 c o s ( s t 2 )

Para a segunda vale:

∂ t e s ∂ s ⇒ t ∂ e s ∂ s =   t e s

Reescrevendo a soma obtemos:

D g s ( s , t )   = t 2 c o s ( s t 2 ) + t e s

Passo 3

Agora resta derivar a função encontrada em relação a " t " , de forma que escrevemos:

D g s t ( s , t )   = ∂ t 2 c o s ( s t 2 ) + t e s ∂ t

Novamente separamos em duas derivações:

D g s t ( s , t )   = ∂ t 2 c o s ( s t 2 ) ∂ t + ∂ t e s ∂ t

Passo 4

Para a primeira derivação aplica-se a regra do produto resultando em:

∂ t 2 c o s ( s t 2 ) ∂ t = t 2   . ∂ c o s ( s t 2 ) ∂ t + c o s ( s t 2 )   .   ∂ t 2 ∂ t

Novamente surgem duas derivações, na primeira aplicamos a regra do produto, ficando:

∂ c o s ( s t 2 ) ∂ t = d c o s ( u ) d u   .   ∂ s t 2 ∂ t = - s e n ( u ) . 2 s t ⇒ - s e n ( s t 2 ) . 2 s t

A segunda resulta em:

∂ t 2 ∂ t = 2 t

Retornado a regra do produto:

∂ 2 t s c o s ( s t 2 ) ∂ s = - 2 t s   . s e n ( s t 2 ) . t 2 + c o s ( s t 2 )   .   2 t

Passo 5

Lembrando que:

D g s t ( s , t )   = ∂ t 2 c o s ( s t 2 ) ∂ t + ∂ t e s ∂ t

Resolvemos agora a segunda derivação, essa resulta em:

∂ t e s ∂ t = 1 . e s

Portanto:

D g s t ( s , t ) = -   2 t s   . s e n ( s t 2 ) . t 2 + c o s ( s t 2 )   .   2 t + e s

Simplificando:

D g s t ( s , t ) = 2 t ( -   t 2 s   . s e n ( s t 2 ) + c o s ( s t 2 ) ) + e s

Resposta

D g s t ( s , t ) = 2 t ( -   t 2 s   . s e n ( s t 2 ) + c o s ( s t 2 ) ) + e s

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