Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 24, ache as derivadas parciais indicadas

15 .   g s ,   t = s e n ( s t 2 ) + t e s ,   ( d ) D t s g ( s , t )

Passo 1

A notação D g t s ( s , t ) indica que devemos derivar duas vezes, considerando a segunda letra (t) como variável na primeira vez e invertendo essa relação na segunda, ficando, para a primeira derivação:

D g t ( s , t )   = ∂ s e n ( s t 2 ) + t e s ∂ t

Passo 2

Dividimos a derivação em duas, de forma que obtemos:

D g t ( s , t )   = ∂ s e n ( s t 2 ) ∂ t + ∂ t e s ∂ t

Para a primeira derivação aplica-se a regra da cadeia, com u = s t 2 , ficando:

∂ s e n ( s t 2 ) ∂ t = d s e n ( u ) d u   .   ∂ s t 2 ∂ t

Resultando em:

∂ s e n ( s t 2 ) ∂ t = c o s   ( u )   . 2 . t . s  

Voltando para a variável " s " :

∂ s e n ( s t 2 ) ∂ t = 2 . t . s . c o s ( s t 2 )

Para a segunda vale:

∂ t e s ∂ t ⇒ e s ∂ t ∂ t = e s

Reescrevendo a soma obtemos:

D g t ( s , t )   = 2 t s c o s ( s t 2 ) + e s

Passo 3

Agora resta derivar a função encontrada em relação a " s " , de forma que escrevemos:

D g t s ( s , t )   = ∂ 2 t s c o s ( s t 2 ) + e s ∂ s

Novamente separamos em duas derivações:

D g t s ( s , t )   = ∂ 2 t s c o s ( s t 2 ) ∂ s + ∂ e s ∂ s

Passo 4

Para a primeira derivação aplica-se a regra do produto resultando em:

∂ 2 t s c o s ( s t 2 ) ∂ s = 2 t s   . ∂ c o s ( s t 2 ) ∂ s + c o s ( s t 2 )   .   ∂ 2 t s ∂ s

Novamente surgem duas derivações, na primeira aplicamos a regra do produto, ficando:

∂ c o s ( s t 2 ) ∂ s = d c o s ( u ) d u   .   ∂ s t 2 ∂ s = - s e n ( u ) . t 2 ⇒ - s e n ( s t 2 ) . t 2

A segunda resulta em:

∂ 2 t s ∂ s = 2 t

Retornado a regra do produto:

∂ 2 t s c o s ( s t 2 ) ∂ s = - 2 t s   . s e n ( s t 2 ) . t 2 + c o s ( s t 2 )   .   2 t

Passo 5

Lembrando que:

D g t s ( s , t )   = ∂ 2 t s c o s ( s t 2 ) ∂ s + ∂ e s ∂ s

Resolvemos agora a segunda derivação, essa resulta em:

∂ e s ∂ s = e s

Portanto:

D g t s ( s , t ) = - 2 t s   . s e n ( s t 2 ) . t 2 + c o s ( s t 2 )   .   2 t + e s

Simplificando:

D g t s ( s , t ) = 2 t ( - t 2 s   . s e n ( s t 2 ) + c o s ( s t 2 ) ) + e s

Resposta

D g t s ( s , t ) = 2 t ( - t 2 s   . s e n ( s t 2 ) + c o s ( s t 2 ) ) + e s

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