Nos exercícios 11-14, aproxime o comprimento de arco da curva ao longo do intervalo dado usando a regra do trapézio T_N , a regra do ponto médio M_N ou a regra de Simpson S_N , como indicado.

13. y = x^(-1), [1,2], S_8

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, um lembrete sobre a regra de Simpson, para N como inteiro, a n-ésima aproximação de ∫ a b f x   d x é dada por

S N = 1 3 Δ x y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + … + 4 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a N e y j = f ( x j ) . Para o nosso caso, N = 8 ,   a = 1 ,   b = 2 ,   Δ x = 1 8 . Nós vamos usar a fórmula do comprimento de arco para expressar s como uma integral

s = ∫ 1 2 1 + - x - 2 2   d x = ∫ 1 2 1 + x - 4   d x

Como essa é a integral que vamos aproximar, nós temos que aplicar a regra do ponto médio para a função f x = 1 + x - 4  

Passo 2

Vamos dividir o intervalo [ a , b ] em 8 subintervalos, com 9 pontos, esses pontos serão iguais a

x 0 = 1 ; x 1 = 9 8 ; x 2 = 10 8 ; x 3 = 11 8 ; x 4 = 12 8

x 5 = 13 8 ; x 6 = 14 8 ; x 7 = 15 8 ; x 8 = 2

Finalmente, nós estamos prontos para aplicar a regra de Simpson

s =   ∫ 1 2 1 + x - 4   d x ≈ 1 3 ∙ 1 8 f 1 + 4 f 9 8 + 2 f 10 8 + 4 f 11 8 + 2 f 12 8 ∙

1 3 ∙ 1 8 4 f 13 8 + 2 f 14 8 + 4 f 15 8 + f 2

Que tem como resultado aproximado

s ≈ 1,13

Resposta

s ≈ 1,13