Nos exercícios 11-14, aproxime o comprimento de arco da curva ao longo do intervalo dado usando a regra do trapézio T_N , a regra do ponto médio M_N ou a regra de Simpson S_N , como indicado.

12. y = sen x, [0, π/2], M8

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos a seguinte função

y = s e n   x

Calculando a derivada, nós obtemos que

y ' = s e n   x ' = cos ⁡ x

Logo, o comprimento de arco é igual a

s =   ∫ 0 π 2 1 + cos 2 ⁡ x   d x

Usando a regra do ponto médio com n = 8 e f x = 1 + cos 2 ⁡ x para aproximar o comprimento de arco, temos que o Δ x é igual a

Δ x = b - a n = ( π 2 - 0 ) 8 = π 16

Onde

0 , π 16 , π 8 , 3 π 16 , π 4 , … , π 2

Passo 2

Agora para encontrar o ponto médio entre dois números, suponha que queremos encontrar o

ponto médio entre 0 e π 16 , vamos somá-los e dividir por dois, onde você obterá o ponto médio π 32 , e com isso,

{ x i * } i = 1 8 = π 32 , 3 π 32 , 5 π 32 , 7 π 32 , 9 π 32 , 11 π 32 , 13 π 32 , 15 π 32

Portanto,

s =   ∫ 0 π 2 1 + cos 2 ⁡ x   d x = Δ x ∑ i = a 8 f x i *

Com isso, nós temos que

∫ 0 π 2 1 + cos 2 ⁡ x   d x ≈ π 16 1,411 + 1,384 + 1,333 + 1,264 + 1,184 + 1,106 + 1,041 + 1,005

Que tem como resultado

s = ∫ 0 π 2 1 + cos 2 ⁡ x   d x ≈ π 16 9,728 ≈ 1,91009

Resposta

s ≈ 1,91009