Nos exercícios 11-14, aproxime o comprimento de arco da curva ao longo do intervalo dado usando a regra do trapézio T_N , a regra do ponto médio M_N ou a regra de Simpson S_N , como indicado.

14. y = e^(-x^2), [0,2], S_8

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, um lembrete sobre a regra de Simpson, para N como inteiro, a n-ésima aproximação de ∫ a b f x   d x é dada por

S N = 1 3 Δ x y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + … + 4 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a N e y j = f ( x j ) . Para o nosso caso, N = 8 ,   a = 0 ,   b = 2 ,   Δ x = 1 4 . Nós vamos usar a fórmula do comprimento de arco para expressar s como uma integral

s = ∫ 1 2 1 + - 2 x e - x 2 2   d x = ∫ 1 2 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x

Como essa é a integral que vamos aproximar, nós temos que aplicar a regra do ponto médio para a função f x = 1 + 4 x 2 e - 2 x 2 .

Passo 2

Vamos dividir o intervalo [ a , b ] em 8 subintervalos, com 9 pontos, esses pontos serão iguais a

x 0 = 0 ; x 1 = 1 4 ; x 2 = 2 4 ; x 3 = 3 4 ; x 4 = 1

x 5 = 5 4 ; x 6 = 6 4 ; x 7 = 7 4 ; x 8 = 2

Finalmente, nós estamos prontos para aplicar a regra de Simpson

s =   ∫ 1 2 1 + 4 x 2 e - 2 x 2   d x ≈ 1 3 ∙ 1 4 f 0 + 4 f 1 4 + 2 f 2 4 + 4 f 3 4 + 2 f 1 ∙

1 3 ∙ 1 4 4 f 5 4 + 2 f 6 4 + 4 f 7 8 + f 2

Que tem como resultado aproximado

s ≈ 2,28

Resposta

s ≈ 2,28