Nos exercícios 11-14, use os valores tabulados do integrando para estimar a integral com (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson com n = 8 passos. Arredonde suas respostas para cinco casas decimais. Depois (c) determine o valor exato da integral e o erro na aproximação para E T ou E S , como for apropriado.

12. ∫ 0 3 θ 16 + θ 2 d θ

Passo 1

Falaaaa... beleza?

Nessa questão vamos precisar da regra do trapézio, que para fazer a aproximação para ∫ a b f x d x ,   usamos:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

Também da regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

Os y ' são os valores de f nos pontos da partição

x 0 = a , x 1 = a + Δ x ,   x 2 = a + 2 Δ x , … , x n - 1 = a + n - 1 Δ x , x n = b ,

Onde Δ x = b - a n .

Passo 2

Ohhh... repara que:

Δ x = b - a n

Δ x = 3 - 0 8

Δ x = 0 , 37 5

Que é exatamente o intervalo dos valores que são dados na tabela... Então já temos os valores de tudinho. Só precisamos jogar nas fórmulas.

a) Para a regra do trapézio:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

T = 0 , 37 5 2 0,0 + 2 0,09334 + 2 0 , 18429 + 2 0 , 27075 + 2 0 , 35112 + 2 0 , 42443 + 2 0 , 49026 + 2 0 , 58466 + 0 , 6

T = 1,01207

Lembrando que ele pediu com cinco casas decimais, ok?

Passo 3

b) E agora usando a regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

S = 0,375 3 0,0 + 4 0,09334 + 2 0,18429 + 4 0,27075 + 2 0,35112 + 4 0,42443 + 2 0,49026 + 4 0,58466 + 0,6

S = 1,01801

Passo 4

Agora é o grosso da questão. Bora resolver essa integral na raça.

c) Usando o método da substituição simples, chamamos:

u = 16 + θ 2

d u = 2 θ   d θ

→ θ   d θ = d u 2

Para os limites de integração:

θ = 0 → u = 16

θ = 3 → u = 25

Então ficamos com:

∫ 16 25 1 2 u d u = 1 2 u 1 2 1 2 1 6 25

= u 1 2 1 6 25

= 25 - 16

= 5 - 4

= 1

Então temos que:

∫ 0 3 θ 16 + θ 2 d θ = 1

Só falta agora calcular o erro que é só a gente subtrair o valor exato do valor da aproximação.

Para a regra do trapézio:

E T = 1 - 1,01207

E T = 0,01 207

Para a regra de Simpson:

E S = 1 - 1,01801

E S = 0,0 1801

Ufa... acabamos.

Resposta

a) T = 1,01207

b) S = 1,01801

c) ∫ 0 3 θ 16 + θ 2 d θ = 1

E T = 0,01207

E S = 0,01801